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数式 Formulas

数式は、頭の中では扱いきれない考えを紙の上に圧縮し、目と手で動かせるようにした道具だ。 A formula compresses what the mind can't juggle onto paper — where eyes and hands can move it around.

歴史History

数式は、もともと文章だった。 Formulas began as sentences.

9世紀の代数学の本は、方程式も解き方も、すべて言葉で書かれていた。 A 9th-century algebra book wrote every equation and solution entirely in words.

「ある財産とその10倍の根を足すと39になる」 “A square and ten of its roots are equal to thirty-nine.”

ペルシャ出身の数学者アル＝フワーリズミー（「アルゴリズム」という言葉の由来になった人物）の代数学の本は、このように言葉だけで書かれていました。「財産」は未知数の2乗、「根」は未知数を指します。こうした書き方を「修辞的代数」（言葉で表す代数）と呼びます。 The algebra book of al-Khwarizmi, a Persian mathematician (whose name gave us the word “algorithm”), was written in words like this. The “square” is the unknown squared; the “root” is the unknown itself. This style is called rhetorical algebra — algebra expressed in words.

記号は少しずつ導入され、約400年前に今の書き方の原型ができた。 Symbols crept in one by one, and about 400 years ago today's notation took shape.

1557=
1591頃c. 1591文字で表すLetters for values
1637x, y, z

1557年、ウェールズの数学者ロバート・レコードが等号「=」を考案しました。「二本の平行線ほど等しいものはない」という理由です。1591年頃、フランスの数学者フランソワ・ヴィエトが、未知数や係数（数にかける決まった数）を文字で表す方法を体系化しました。そして1637年、デカルトがx・y・zを未知数、a・b・cを既知数とする、今の習慣をつくりました。 In 1557 the Welsh mathematician Robert Recorde invented the equals sign “=”, because “no two things can be more equal” than a pair of parallel lines. Around 1591 the French mathematician François Viète systematized writing unknowns and coefficients (the fixed numbers they are multiplied by) as letters. In 1637 Descartes set today's habit of x, y, z for unknowns and a, b, c for known values.

数字も「位置」が値を表す書き方になり、計算が紙の上の空間の操作に変わった。 Numerals, too, came to let position carry value — turning arithmetic into moving things on paper.

1202年、イタリアの数学者フィボナッチが西欧に広めたインド・アラビア数字（0〜9の数字）は、位の位置で桁を表す「位取り記数法」です。同じ「9」でも、置く場所で900にも90にもなります。ローマ数字の「MCMXCIV」と「1994」を比べると分かるように、位置が値を表すことで、筆算が紙の上の操作になりました。 The Hindu–Arabic numerals (0–9), spread in Western Europe by the Italian mathematician Fibonacci in 1202, use place value: the same “9” means 900 or 90 depending on where it sits. Compare the Roman “MCMXCIV” with “1994”: once position carries value, written arithmetic becomes an operation on paper.

脳科学Brain science

頭の中で同時に扱えるのは、
4つ程度まで。 The mind holds only
about four things at once.

人が頭の中で同時に保てる情報のまとまりは、4つ程度しかない。 We can keep only about four chunks of information in mind at the same time.

考えている最中に情報を一時的に置いておく「作業記憶」（頭の中のメモ帳のようなもの）の容量は、アメリカの心理学者ネルソン・コーワンの研究によれば、4つ程度のまとまりしかありません。文章から記号への移り変わりは、この限界で説明できます。 Working memory — the mind's scratch pad for holding information while we think — has room for only about four chunks, according to research by the American psychologist Nelson Cowan. That limit explains the shift from words to symbols.

言葉のままでは大変な変形も、記号で書けば紙の上で項を動かす作業になる。 A rearrangement that is hard in words becomes moving terms around on paper once it is written in symbols.

ある財産とその10倍の根を足すと39になるA square and ten of its roots equal thirty-nine

x^{2} + 10 x = 39

言葉のまま頭の中で式を変形するのは、作業記憶をすぐに使い切ってしまうので非常に大変です。記号で書けば、式全体が一つのまとまりとして目に入り、あとは紙の上で項を移動させる操作に変えられます。 Rearranging the sentence in your head quickly uses up working memory. Written in symbols, the whole equation enters the eye as a single chunk, and the work becomes moving terms around on paper.

数式は、頭の中の処理を紙に外に出して、目と手で操作するための道具。 Formulas are tools for moving thinking out of the head and onto paper, where eyes and hands can work on it.

認知科学（人がどう見て考えるかを研究する学問）では、こうした道具を「認知的な人工物」や「拡張された心」と呼んで研究しています。考える働きの一部を、紙や記号といった頭の外のものが担っている、という見方です。 Cognitive science (the study of how people perceive and think) studies such tools as “cognitive artifacts” and the “extended mind” — the view that part of thinking is carried out by things outside the head, such as paper and symbols.

2次元の図A 2-D picture

数式は、2次元の図でもある。 A formula is also a two-dimensional picture.

分数は上下に、べき乗は右上に。構造は、記号の位置と大きさで表されている。 Fractions stack, powers sit up and to the right — structure is shown by where symbols sit and how big they are.

\frac{a}{b}

分数（上下）Fraction (stacked)

x^{2}

べき乗（右上）Power (upper right)

\sum_{i = 1}^{n} x_{i}

総和（範囲を上下に）Sum (range above and below)

数式は一直線に並ぶ文章ではなく、2次元の配置で構造を表しています。どの部分がどこにかかるかは、記号の位置関係と大きさで示され、脳がそれを視覚的にまとめて読み取ります。 A formula is not a line of text but a two-dimensional layout. Which part applies to which is shown by the position and size of the symbols, and the brain reads it visually as a whole.

記号の設計は、思考そのものを左右した。ライプニッツの「dy/dx」は、計算を直感的にした。 Notation shaped thinking itself — Leibniz's “dy/dx” made calculus intuitive.

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

微積分は、イギリスのニュートンとドイツのライプニッツがほぼ同じ時期に考え出しました。ライプニッツは記号の設計に強くこだわり、彼の「dy/dx」という書き方では、合成関数の微分（関数の中に関数が入った形の微分）が分数の約分のように見えるため、直感的に計算を進められます。この使いやすさが、大陸ヨーロッパでの微積分の発展を後押ししたと言われています。 Calculus was devised at about the same time by Newton in England and Leibniz in Germany. Leibniz cared deeply about notation: in his “dy/dx”, the chain rule (differentiating a function inside another function) looks like cancelling fractions, so the calculation feels natural. That ease of use is said to have helped calculus flourish in continental Europe.

人と機械People and machines

人には2次元の図、
機械には一直線の記述。 A picture for people,
a single line for machines.

コンピューターで数式を扱うには、2次元の配置を、一直線の記述や木構造に書き直す必要がある。 For a computer to handle a formula, its 2-D layout has to be rewritten as a single line of text or as a tree.

そのための書き方が、LaTeX（数式を文字の並びで書く組版の書き方）やMathML（数式を「木構造」＝入れ子の関係で表すWebの標準）です。人が一目で読み取る上下や右上の位置関係を、機械が扱えるように一つずつ言葉にしています。 That is what LaTeX (a typesetting language that writes formulas as a string of characters) and MathML (the web standard that represents a formula as a tree of nested parts) are for. They spell out, piece by piece, the above-below and upper-right relationships people read at a glance.

人が見る形What people see

\frac{d y}{d x}

LaTeX

\frac{dy}{dx}

MathML

<mfrac>
  <mrow><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow>
  <mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>

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参考：R. Recorde, The Whetstone of Witte (1557) ／ N. Cowan, “The magical number 4 in short-term memory,” Behavioral and Brain Sciences (2001) ／ A. Clark & D. Chalmers, “The Extended Mind,” Analysis (1998) References: R. Recorde, The Whetstone of Witte (1557) / N. Cowan, “The magical number 4 in short-term memory,” Behavioral and Brain Sciences (2001) / A. Clark & D. Chalmers, “The Extended Mind,” Analysis (1998)

2次元の構造を、
正しく読む。 Structure in
two dimensions.

御社の数式を、記号ごとに正しく読み取ります。See your own formulas read correctly, symbol by symbol.

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